Dans un tétraèdre

Exercice 1

On considère une pyramide  \(\mathrm{SABCE}\) à base carrée \(\mathrm{ABCE}\) de centre \(\mathrm{O}\) .
Le point `\text D` \(\text D\) appartient au segment \(\mathrm{[OS]}\) et vérifie :  \(\mathrm{OA = OB = OD}\) .

Le point  \(\text S\) est tel que  \(\mathrm{\overrightarrow{OS}=3\overrightarrow{OD}}\)   (proportion non respectée sur le schéma ci-dessous) . 

Exprimer les vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{AS}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{SE}}\) en fonction des vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{OA}}\) , \(\mathrm{\overrightarrow{OB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{OD}}\) .

Exercice 2

On considère une pyramide régulière  \(\mathrm{SABCD}\) de sommet \(\mathrm{S}\) dont la base est le carré \(\mathrm{ABCD}\) et dont les faces sont des triangles équilatéraux.  
On note \(\mathrm{O}\) le centre du carré \(\mathrm{ABCD}\) avec \(\mathrm{OB=1}\) .

1. Justifier que \(\mathrm{OS = 1}\) .

2. Soit \(\mathrm{K}\) le point défini par \(\mathrm{\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SA}}\) . On note \(\mathrm{I}\) le milieu du segment \(\mathrm{[SO]}\) .
Exprimer le vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{KI}}\) en fonction des vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{OC}}\) , \(\mathrm{\overrightarrow{OD}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{OS}}\) .