Dans un tétraèdre

Exercice 1

On considère une pyramide  $\mathrm{SABCE}$ à base carrée $\mathrm{ABCE}$ de centre $\mathrm{O}$ .
Le point $\text{D}$ $\text{D}$ appartient au segment $[\mathrm{OS}]$ et vérifie :  $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$ .

Le point  $\text{S}$ est tel que  $\overrightarrow{\mathrm{OS}}=3\overrightarrow{\mathrm{OD}}$   (proportion non respectée sur le schéma ci-dessous) . 

Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SE}}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ .

Exercice 2

On considère une pyramide régulière  $\mathrm{SABCD}$ de sommet $\mathrm{S}$ dont la base est le carré $\mathrm{ABCD}$ et dont les faces sont des triangles équilatéraux.  
On note $\mathrm{O}$ le centre du carré $\mathrm{ABCD}$ avec $\mathrm{OB}=1$ .

1. Justifier que $\mathrm{OS}=1$ .

2. Soit $\mathrm{K}$ le point défini par $\overrightarrow{\mathrm{SK}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{SA}}$ . On note $\mathrm{I}$ le milieu du segment $[\mathrm{SO}]$ .
Exprimer le vecteur  $\overrightarrow{\mathrm{KI}}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ .